Combinatorics, Proc. Eighth British combinatorial conf. by H. N. V. Temperley

By H. N. V. Temperley

The articles gathered listed below are the texts of the invited lectures given on the 8th British Combinatorial convention held at collage university, Swansea. The contributions mirror the scope and breadth of software of combinatorics, and are updated stories through mathematicians engaged in present examine. This quantity may be of use to all these drawn to combinatorial rules, whether or not they be mathematicians, scientists or engineers interested by the turning out to be variety of functions.

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N + 2)! = n! 1 1 − n! − (−1)n + (−1)n − ··· e (n + 1)! (n + 2)! = 1 1 n! + (−1)n − + ··· . e n + 1 (n + 1)(n + 2) Paarweises Zusammenstellen der nach dem ersten Glied folgenden Glieder liefert klarerweise n! 1 . /e und somit n! +m Dn = e unter der Voraussetzung gilt, daß 1 n+1 m 1, und wegen n 2 fordern wir 13 m 1. /e, und nun gilt Dn = n! +m e unter der Voraussetzung 0 m + 1/(n + 1) 1, und das bedeutet, daß 0 m 12 . Diese beiden Ergebnisse liefern zusammen das gew¨ unschte Resultat. Nat¨ urlich kann man u ¨berzeugend argumentieren, daß m = 0 mit Dn = n!

Nach Durchf¨ uhrung dieser Argumentation f¨ ur alle r Personen erhalten wir ur, den Ausdruck f¨ ur das neue Pn (r), das heißt, die Wahrscheinlichkeit daf¨ daß mindesten zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben: n − (r − 1) n n−1 n−2 × × × ··· × n n n n n! =1− r n (n − r)! Pn (r) = 1 − =1− r! n . nr r F¨ ur ein aus 365 Tagen bestehendes Jahr erhalten wir P365 (r) = 1 − r! 365 . 365r r Die graphische Darstellung dieser Funktion f¨ ur die Werte von r bis 100 ist in Abb. 2 gegeben. Abb. 2. Die Wahrscheinlichkeit von mindestens zwei zusammenfallenden Geburtstagen Die bei 0, 5 gezogene horizontale Linie veranlaßt uns, die etwas u ¨ber 20 liegenden Werte von r aufs Korn zu nehmen.

Asymptotisches Verhalten Wir haben also festgestellt, daß der Ausdruck E(n) unabh¨angig von der Anzahl n der Objekte ist. Sehen wir uns unsere fr¨ uheren Berechnungen etwas genauer an, dann erkennen wir unmittelbar, daß auch pn = 1 − 1 1 1 1 + − + · · · + (−1)n 1! 2! 3! n! praktisch unabh¨ angig von n ist. Positiver ausgedr¨ uckt ist 1 − pn die Wahrscheinlichkeit von mindestens ¨ einer Ubereinstimmung bei n Objekten, und einfache Computerberechnungen zeigen, daß 1 − p13 1 − p52 = 0, 632 121 . .

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